格子设计中的墙纸图案是什么「在格子纸上画图案」

大家好，格子设计中的墙纸图案是什么「在格子纸上画图案」很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

数学家已经确定，恰好有17个平面对称群，即所谓的“墙纸图案”。多篇数学纤维艺术论文描述了这些图案的子集，这些图案适合于使用针织和十字绣等基于网格的媒介进行纺织品设计。本文对现有的这些图案库进行了扩展，包括基于方向的变化和四重旋转。特别地，我们列举了可以使用格子平移和其他格子对称的组合从正方形拼块生成的所有平面格子对称。这项工作具有超越数学的应用，因为我们还为针织和纤维艺术设计者提供了一个有用的图案制作工具；我们介绍了使用Python/Process和OpenSCAD创建的对称生成器软件，该软件提供了一种方法，可以将平面晶格对称设计导出为手工编织图案或物理穿孔卡片，用于针织机中。

动机

第一作者拥有一台穿孔卡片驱动的针织机。作为一名计算设计师，她想创造一种工具，允许输入一块黑白像素，从中可以生成墙纸图案，作为针织机的穿孔卡片。作为数学家，我们希望直观地生成所有可能的基于对称的穿孔卡片图案，以便针织品设计师能够选择最吸引人的图案来制作穿孔卡片。

为了解决这个问题，我们在用Python/Processing编程时使用了一个离散的正方形格子来创建多功能对称生成器[7]，这将证明对教育工作者、学生、对称和设计的爱好者以及针织品、十字绣的设计师是有用的。对称生成器是一个交互式数字界面，它仅使用方形图块图像和单位转换来使每个潜在的墙纸对称服从冗余和编程约束。我们发现其中七种对称有多种设计变体。对称生成器中的大量模式和切换使用户能够在更深的层次上进一步研究对称，并使软件作为教学和研究工具有用。

本文的第二部分描述了由于我们在对称生成器中使用正方形拼块而产生的对可能的墙纸设计的限制。第三部分包括一个定理，该定理列举了使用具有格子设计和某些平移约束的正方形拼块的所有可用墙纸设计。结论部分总结了这些结果并指出未来的工作。

方形拼块墙纸设计允许的对称

令人惊讶的是，由平面的平移和反射产生的平面对称群只有17个；见[3，1，4]。基于叶子图案的这些群组的例子显示在图1中。在本文中，我们将用它们的IUC符号来指代对称性，同时也在图1和图4中给出了相应的轨道符号[1]。

图1：使用叶子生成的17个墙纸图案，用IUC和轨道符号表示。修饰语h/v表示水平和垂直版本；修饰语A/B表示其他变体；修饰语RT/FT表示需要有内部对称的拼块。

为了生成平面图案，我们的对称生成器从一般的正方形输入起始拼块开始，应用正方形二面体群D4的对称性来填充2×2的拼块阵列，然后通过水平和垂直平移两个拼块长度的倍数来密铺平面。正方形输入图块是墙纸模式的基本领域。我们将生成模式的平移单元定义为通过水平和垂直平移可以密铺平面的最小区域。

使用对称生成器创建的阵列必须具有跨越1×1、1×2、2×1或2×2密铺长度的平移单位。有了这些约束，并考虑到[5]中的单元结构图，我们可以创建一个与设计相关的变体的基本集，覆盖17个墙纸图案中的9个；请参阅定理1的第一部分。在未来的工作中，我们可能会扩展我们的算法，以考虑更长和更小的平移，这可能会产生进一步的设计变体。

读者会注意到，图1中显示的最后五个图案每个都有一个三阶或六阶对称点。在假设任何合理的基础网格的情况下，潜在的墙纸对称集从17个减少到12个，因为需要60°旋转的对称固有地将网格点移动√3的合理倍数，参见[6]。这在我们的对称生成器中排除了墙纸对称p3、p3m1、p31m、p6和p6m。

图1中所示的三个墙纸图案p4、p4m和p4g需要90◦旋转才能在平面上等距，这意味着为了在对称生成器中包含这样的设计，我们必须假设起始拼块是正方形的。这解释了我们决定将正方形图像输入到对称生成器中，并意味着我们选择忽略大多数编织针迹不具有与其宽度相同的高度。与之形成鲜明对比的是，戈德斯汀并没有忽视针织针法的这一特性，这就是为什么她的艺术作品《双针组》只描绘了九种对称性[2]。

我们还注意到，为了仅使用起始拼块的平移来包括图1中的墙纸图案p4m、p4g和cmm，对称生成器需要具有特定内部对称性的特殊正方形起始拼块。图2显示了这三种模式的细胞结构图(转载自schatt schneider[5])；注意，在每种情况下，都有相互成45°角的对称线。

图2：三种墙纸对称的正方形网格单元的例子。粗体显示镜面反射；灰色虚线显示滑移反射；实线显示平移单元的轮廓；小点表示居中单元格的轮廓。钻石标志着两个旋转中心；正方形标志着四个旋转中心。

从图2中的单元结构图可以看出，如果我们从对角线上具有内部镜面反射的拼块开始，图案p4m和p4g可以由2 × 2平移单元产生。图案cmm需要具有180°旋转对称的起始拼块或者更大的平移单元。在对称生成器算法中，我们被限制为最多2×2拼块长度的平移单元，所以我们选择前者。在图3a中，我们展示了一个生成cmm的2 × 4平移单元；相反，我们使用图3b所示的特殊起始拼块，以便在对称发生器中使用2 × 2转换单元。

(a)以cmm对称模式配置的2 × 4平移装置。

(b)具有180°旋转对称的拼块。

(c)以cmm对称模式配置的2 × 2平移装置。

图3:我们可以使用任何拼块来生成具有2 × 4基本单元的cmm对称性(a)，但是如果我们使用旋转对称拼块(b ),我们可以生成具有2 × 2基本单元的cmm对称性(c)。

列举格子设计中的墙纸图案

出于我们的设计考虑，我们现在将注意力限制在基于网格的拼块设计上，这些拼块包含晶格点，可以被认为是针织缝纫、十字绣或其他基于网格的纺织媒介。

给定一个细分为打孔/缝合的整数正方形网格的平面，我们可以考虑我们所说的网格平面对称性:水平和垂直单位平移，水平和垂直反射，对角反射，水平和垂直单位滑移，以及保持网格结构的二阶和四阶旋转。在本文的其余部分，所有的对称将被假设为晶格对称。

按照上一节中的术语，我们将把格平面的任何正方形子集称为拼块。为了机器编织的目的，拼块的边长应能分开穿孔卡片的宽度或机器循环，但一般来说，拼块可以是任何尺寸。拼块上的正方形条件使我们能够考虑四阶旋转，但对于不包括这种旋转的平面图案，可以放宽到矩形。

我们的主要定理列举了所有可能类型的平面晶格模式，即所有可以使用晶格平移和其他晶格对称的组合从拼块生成的模式。这个枚举也是使用作者的对称生成器工具可以获得的模式类型的计数。

在本文中，我们将只考虑一个或两个完整拼块宽度的平移和滑移；这足以恢复所有非三倍墙纸对称的变化。在未来的工作中，我们可以推广到分数和更长的平移和滑翔长度。因此，给定任何平面点阵图形，都有一个1 × 1、1 × 2、2 × 1或2 × 2的平移单元，通过平移覆盖平面。

定理1。对于离散的点阵设计，正好有21个平面点阵图形，这些点阵图形产生于正方形拼块的单位平移和对称性；参见图4。

a)使用晶格平移以及其他晶格对称性的组合，可以从起始拼块产生正好18个平面晶格图案。这些图案展示了17种经典墙纸图案中的9种。

b)通过考虑从具有内部对称性的起始拼块构造的2 × 2平移单元，我们可以在晶格平面中展示3个附加墙纸图案的实例。

图4:离散格子设计的21种可能的墙纸图案，带有IUC和orbfold符号。前18个模式是从键中的左侧贴图生成的，后两个来自键中的反射对称贴图，最后一个来自键中的旋转对称贴图。与图1比较。

考虑到我们对平移单元施加的长度限制(我们将在整个定理中使用它)，正好有11种非平移对称可以应用于起始正方形输入密铺，以创建保留基本晶格的平面图案：垂直和水平边缘反射、垂直和水平边缘滑移、垂直和水平密铺中间滑移、密铺角点处的两种类型(基于位置)四次旋转、垂直和水平密铺边缘中点的两次旋转，以及密铺角处的两次旋转。在定理1的证明中，这些是我们将系统地考虑的对称性，大致按照这个顺序。图中加黑的粗线表示镜像线，粗的中灰色虚线表示滑移对称线，小的深色轮廓的白色正方形表示四倍旋转的点，小的深色轮廓的白色钻石表示两倍旋转的点。在图中网格的侧面，带有竖线的线条显示了平移单位。

证明：

为了证明(a)，我们将通过系统地添加平移和其他对称的各种组合来生成所有可能的平面图案，直到确定整个平面。请注意，因为我们的目标是构建适合设计目的的完整枚举，所以如果平面网格图案在视觉上看起来不同，那么我们将区分它们，即使它们共享相同的墙纸对称群。

作为一个普通的例子，如果我们从一个没有内部对称性的拼块开始，应用一个拼块宽度的水平和垂直平移，那么我们就得到了平面图案p1。这个模式和这个证明中的所有其他命名模式都可以在图4中找到。

案例1:边缘反射

从一个拼块开始，假设我们添加一个垂直的边缘反射。这种反射迫使水平平移单位为两个拼块宽度(而不是一个)，并因此确定了我们的平面图案的一个无限水平条带；参见图5a。

如果我们现在添加水平边缘反射，我们确定平面图案的其余部分并生成pmm，如图5b所示。或者，如果我们添加一个中间拼块垂直下滑，我们产生cm-v；参见图5c。以类似的方式，我们可以增加一个拼块高度的垂直平移，以获得pm-v，或者增加一个水平的拼块中间滑移，以获得pmg-vh。很容易检查出在我们最初的反射中加入任何其他的滑移或旋转是多余的或是矛盾的。

图5:从垂直边缘反射和其他对称产生的平面图案。

(a)一个拼块和一个垂直边缘镜确定一个水平条带。

(b)添加垂直边缘镜决定了图案pmm。

(c)添加平行的中间拼块滑行代替确定模式cm-v

如果我们改为从水平边缘反射开始，那么可以使用类似的论证来获得额外的平面图案cm-h、pm-h和pmg-hv。注意，由于起始拼块没有被假定为具有任何内部对称性，所以我们通常不能具有中间拼块反射轴，因此我们现在已经穷尽了包括反射的所有情况。

情况2:边缘滑移，无边缘反射

我们现在可以假设不存在反射；假设我们从垂直边缘滑移开始，其平移分量是一个拼块高度。因为我们被限制为一个和两个拼块宽度平移，这确定了棋盘图案中的一半平面；参见图6a。如果我们增加一个中拼块垂直下滑，那么我们得到平面模式pg-v；参见图6b。如图6c所示，添加中间拼块水平滑移反而产生pgg-B。我们可以增加的所有其他非反射对称，要么是矛盾的，诱发反射，要么是在第一种情况下出现的。以类似的方式，从水平单位边缘下滑开始，我们可以得到pg-h和pgg-A图形。

图6:从垂直边缘滑移和其他(非反射)对称产生的平面图案。

(a)一个拼块和一个垂直边缘滑移确定无限棋盘区域。

(b)增加一个中拼块垂直下滑确定了pg-v型。

(c)增加一个中间的水平下滑代替确定图形pgg-B。

情况3:中间拼块滑移，没有边缘反射或边缘滑移

假设我们现在从一个中间拼块滑移开始，其平移分量是一个拼块高度。这确定了图案的无限垂直条带，如图7a所示。增加一个水平的中间拼块滑行产生模式pgg参见图7b。一个简单的检查表明，没有其他新的对称性可以添加到原始的中间拼块滑移，以获得在情况1或情况2中尚未考虑的平面图案。

情况4：仅旋转。

现在仍然只考虑由2倍和4倍旋转组合产生的图案。假设我们从拼块转角处开始旋转4倍。如果这个角在原始拼块的右上角或左下角，那么我们立即获得平面图案p4-A；参见图7c。如果4折旋转角被放置在原始拼块的左上角或右下角，那么我们就得到了p4-B；参见图7d。(在这两种情况下，“原始拼块”都被认为是具有“P”设计的拼块。)

图7:左边两个平面图案产生于垂直的中间滑移和其他(非反射、非边缘滑移)对称。从四重角对称生成的右两个平面图案。

(a)一个拼块和一个垂直中部拼块滑移确定一个无限垂直条带。

(b)增加一个中间的水平下滑确定了图形pgg。

(c)放置在“P”区块的右上角的4重旋转诱导p4-A图案。

(d)放置在“P”区块右下角的4重旋转诱导p4-B图案。

现在假设只有两次旋转，从拼块的任意一个角开始。这仅确定在该角的另一侧的另一个图块；参见图8a。如果我们选择在该点应用一个拼块高度的垂直平移，我们获得平面图案p2-v，如图8b所示。如果我们改为应用一个密铺宽度的水平平移，我们得到p2-h，如图8c所示。

图8：由二倍角对称性产生的平面图案。

(a) 在原始 "P "拼块的左上角进行2倍的旋转，可以确定多出一个拼块。

(b) 将平移单元限制在1×2，决定了平面图案p2-v。

(c) 将平移单元限制为2×1决定了平面图案p2-h。

最后，假设我们在垂直拼块边缘的中点处进行2倍旋转。这确定了图案的无限水平条带，如图9a所示。如果我们在水平拼块边缘的中点处添加2倍旋转，则得到p2-vh，如图9b所示。添加任何其他晶格对称，包括密铺宽度一的平移，要么重复以前的平面图案，要么不一致。

为了证明(b)部分，我们只需要展示其余非三重墙纸对称中的每一种的一个实例:p4m、p4g和cmm，正如我们在图4中通过使用密钥中的特殊拼块所做的那样。在本文中，我们不会试图找到所有的实例，也不会使用这些特殊的拼块对其他对称性进行分类。为了在正方形晶格平面内实现这三种对称，并且仅使用2 × 2平移单元，我们必须考虑具有内部反射对角对称或内部2重旋转对称的起始拼块。

图9:从二重边中点对称生成的平面图案。

(A)在原始“P”区块的左边缘中点处的2倍旋转确定了一个更多的区块。

(b)在底部边缘中点增加2倍旋转定义了平面图案p2-vh

在图4中，p4m对称性是通过从反射对角线拼块开始并将pmm图案应用于该拼块而获得的。当与特殊反射拼块的内部对称性相结合时，我们获得了p4m中的所有对称性，如[5]中所述。类似地，p4g对称性可以通过将图案pgg应用于相同的拼块来获得，而cmm可以通过将图案pmm应用于2重旋转起始拼块来获得。在未来的工作中，我们将探索这种模式类型的完整枚举。

结论和未来工作

在本文中，我们提供了一套完整的设计变体，用于受平移单元大小约束的离散点阵设计上的墙纸图案。在未来的工作中，我们打算写对称生成器的其他功能，包括它为[1，4]中列举的双色设计类型生成大量设计变量的特殊能力。我们也将进一步探讨穿孔卡片针织机重复所造成的设计限制。此外，我们希望将对称生成器的功能扩展到分数和扩展的平移单元。

参考文献

[1] J. H. Conway, H. Burgiel, and C. Goodman-Strauss. The Symmetries of Things, AK Peters, 2008.

[2] S. Goldstine. “A Survey of Symmetry Samplers.” Bridges Conference Proceedings, Waterloo, Canada, July 27–31, 2017, pp. 103–110. http://archive.bridgesmathart.org/2017/bridges2017-103.pdf.

[3] F. Goodman. Algebra: Abstract and Concrete, 2nd ed. Prentice Hall, 2002.

[4] B. Gründbaum and G. C. Shephard. Tilings and Patterns, W. H. Freeman and Co, 1987.

[5] D. Schattschneider. “The Plane Symmetry Groups: Their Recognition and Notation.” The American Mathematical Monthly, vol. 85, no. 6, 1978, pp. 439–450.

[6] M. Shepherd. “Symmetry Patterns in Cross-Stitch.” In Making Mathematics with Needlework: Ten Papers and Ten Projects, edited by s. belcastro and C. Yackel, AK Peters 2007.

[7] L. Taalman and C. Yackel, “Symmetry Generator.” Software for generating wallpaper patterns from lattice designs. For demos or copies contact taalmala@jmu.edu.

[8] Laura Taalman1 and Carolyn Yackel2, Wallpaper Patterns for Lattice Designs

青山不改，绿水长流，在下告退。

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