欧几里得几何公设「欧几里得几何攻略」

时间：2022-12-14 13:49:22 来源：宇宙文明领路人

大家好，欧几里得几何公设「欧几里得几何攻略」很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

今天探索一种几何绘图软件，将其作为一种简单快捷的工具，根据直尺和圆规的简单已知构造，设计并绘制出美观的几何图案。对于试图通过艺术活动来提高对几何的兴趣的教师，或者对于参与平面几何绘图的有经验的和正在经历的数学艺术家来说，该工作坊可能是特别感兴趣的。不需要事先了解所使用的软件Geogebra，但希望与会者能够在研讨会期间使用该软件或同等软件。

介绍

用直尺和圆规画几何图形是儿童在早期学校接触几何图形的一部分，这门学科的名字“绘画”暗示了它与视觉艺术的联系。事实上，几何绘画一直是画家、雕塑家和建筑师知识的一部分，传统上是作为一种实现结果的工具，正如人们可以在莱昂·巴蒂斯塔·阿尔伯蒂[1]的论文《论绘画》中对透视的描述中看到的那样，或者作为艺术品本身，例如在弦艺术中，这种情况与本次研讨会所涉及的设计类型有很好的联系。像往常一样，了解连线艺术的一个很好的起点是维基百科关于这个主题的页面，特别是参考文献[4]。

虽然直尺和圆规打开了绘图的多种可能性，但算法非常简单，因此它们被教授给儿童，并被编码在许多几何软件中，通常具有相似的界面。在这个工作坊中，我们使用GeoGebra，一个为教育目的而设计的开源免费数学软件，特别是直尺和圆规绘图，以比实际使用纸笔更快的速度来帮助进行具有艺术目的的几何图形实验。有了这个工具，我们不仅可以更快地进行实验，因此可以绘制更多更复杂的任意精度的图片，从而提高艺术家或学生的创作可能性。Geogebra可以在其网站上免费获得[2]。

活动

但是能画出什么样的画呢？选择是巨大的，研讨会的目的是提供人们探索可能性所需的工具。但是由于选择对于陈述是必要的，我将把会议的开始部分集中在陈述一些基本的结构上，这些结构是在我作为一个几何爱好者的“职业生涯”开始时由一位数学老师向我展示的。目的是展示该软件从头开始提供的一些有趣的结构的基本工具。例如，通过细分一对线段并正确连接点，可以得到看起来弯曲的直线(见图1)，或者绘制多边形中的所有对角线，可以绘制“超级圆”(见图2)。构造应仅使用用于构建或分割线段、构建多边形、绘制圆或反转线的工具，所有功能都已内置在Geogebra的选项中。

图1：在正交线段上看起来弯曲的直线

图2:一个32边的超级圆

观看如何制作这些构造将使参与者熟悉Geogebra的界面和制作图纸、着色以及使用拖动和缩放工具的基本技术，从而帮助完成困难的设计。

在这个大约半小时的简短开场白之后，这个想法是参与者尝试使用所展示的软件和工具画出他们自己的东西。重点不是在40分钟左右的时间里创作出一幅杰作，而是在一个受控的环境中努力绘画，在这里你可以与其他参与者互动，并与他人和演示者一起解决你的问题。我们的目标是让参与者在使用Geogebra进行艺术绘画时拥有自主权，以允许他们自己进行进一步的探索。

但是……为了什么

这是一个关于数学或艺术主题的棘手问题，但这是一个很好的借口来解决围绕这些绘画的一些背景问题。重要的是要强调，下面的大部分考虑来自于我作为一个年轻的学习者接触纸和笔的这种活动的个人经验，并且它们应该被如此看待。

从早期学校教育的角度来看，这项活动具有内在的价值，可以刺激学生练习几何绘画。孩子们喜欢做这些美丽的事情，他们可能会努力画更复杂的画，用更多的线，探索新的形状，只是为了它。他们也可能会发展出自己的管理绘图的方法，因为一个人不会简单地拿起铅笔就画出528条线。我记得我的老师给我上了一堂课，教我如何画看起来弯曲的直线，在课结束时，她展示了一本相册，里面有她以前一些学生的画。在下一堂课上，一群11岁的孩子自发地画了几个“超级圆圈”。

除了这一挑战方面，展示让他们更好地了解自己的图画的方法也是很有趣的。计算每个图形中的线数是一个简单但非常具体的计数问题，它可能会以不同的方式呈现出来，这取决于图形本身。例如，计算图2的“超圆”所需的线数与求一个多边形(包括它的边)的对角线的数目是一样的，n(n−3)/2 n是n边的“超圆”，而像图3这样的混合图像中的线数要简单得多，因为它只取决于一个人决定向内画多少层六边形，但需要一个更仔细的绘图模型才能被计算，检查绘图中到底有多少行被倒置，以及重复步骤是否可以简化计数问题-由于左侧的绘图是沿两个圆圈倒置，以获得右侧的图片，因此计算第一张绘图的行数正好是最终结果中总行数的三分之一。

此外，最简单的图画提出了平面几何问题，如线的大小、它们的角度，以及一些基于问题对称性的变换问题，这允许教师探索欧几里得平面几何中关于长度和角度的基本结果。

对于更高级的学生，可以从概念上甚至从技术上来说，对于微积分学习者，看起来弯曲的直线是平面中曲线包络族的例子，也就是说，它们是由以下方程给出的曲线的切线族:

F(t，x，y)表示由参数t索引的曲线族的方程。

最常见的例子是出现在最简单的线条图中的抛物线，如图1所示，但另一条曲线，星形曲线，其特征完全是这样的曲线，所有切线都定义了第一象限中相同长度的线段，或者换句话说，是由连接两条正交线的一族等长线段包围的曲线。星形线是一个有趣的例子，因为它被定义为一条被一族容易绘制的线段包围的曲线。这两个例子的计算可以在维基百科的包络曲线页面上找到[3]。

一个有趣的附注是，如果一个人试图通过迭代构造来达到抛物线和星状线这两个例子，它们的行为不同：抛物线的包络随着图中线条数量的增加而改变其形状，而星状线的包络在所有步骤中都粘在曲线上。

另一方面，对于艺术家来说，绘图软件的使用提供了一个快速探索图片的宝贵机会，从而产生一个更加动态的创作过程，允许快速改进。此外，有些结构太复杂，无法手工制作，但用计算机是可能的，特别是用它的放大/缩小工具和保存宏的可能性，如反转。例如，图3(右侧)是在Geogebra上直接制作的，在嵌套六边形(左侧)的简单结构上反复使用“反转”工具。当然，我不能用手反转所有的线条来保持图画的整洁，特别是添加颜色。不过，Geogebra在几个小时内就允许了这个过程。